社内開催の『統計勉強会』に参加してみた⑦

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3回連続の「検定」についてのお話になります。
<前回のおさらい『社内開催の「統計勉強会」に参加してみた⑥』>

今回は “母平均の差” の「検定」についてご紹介いたします。

早速例題

突然ですが問題です。

【問題】
A市の41人を無作為に選んで一ヶ月あたりの平均団子購入額を調査したところ、
A市の平均購入額は1,240円(標準偏差80円)だった。

また、同様にB市でも35人を無作為に選んで調査してみると、
B市では一ヶ月あたりの平均団子購入額が1,060円(標準偏差70円)であった。

この場合、両市での平均購入額には差があると言えるのか?
上記の数値はサンプリングされたデータであり、このデータの平均を使って差の有無を調べよ。

上記のような問題の場合、等分散を仮定していきます。

等分散を仮定する

式は以下のような感じになります。

この場合、「d」の分布は  となり、「正規分布」します。

等分散を仮定しているので、「student(スチューデント)」では分散が等しいと見なすため、以下のようになります。

続いて、上記の「S*2」を導く必要があるので、  のような感じになります。
(※「S*」は仮置きしているだけのものとします)

仮説を立てる

そして、最後に仮説を立てましょう。

対立仮説(H1):δ != 0 ※平均に差がある
帰無仮説(H0):δ = 0  ※平均に差があると言えない

ここで「H0」を検定していきます。

ここから「studentの推定」の式に当てはめると……

それぞれ標本数が100より少ないので、今回は「t分布」を使うことになります。

続いて標準化を実施した上で計算していくことになりますが、今回の例だと「1240円―1060円=180」となります。
そして「H0」を検定しているので、差の平均を「0」と見なします。

「180―0」、つまり以下のような感じになります。

t分布表を参考すると片側が「0.025」、そして自由度が「70(使用した表の場合、60までしかなかったがw)」において「2」となった。
結果は「10」であり、分布を描画すると更に右に進むことになることから、対立仮説「H0」を棄却することに。

つまり、以下のことが言えます。

 A市とB市の平均購入額は等しいと言えない  

なお、今回の問題末尾にもあるように、検定結果はあくまでも「サンプリングされたデータの平均を使って、全体の平均はどうなのか」ということを導いたに過ぎません。
つまり、「検定結果」は必ずしも今回のサンプルデータから得た結果でしかなく、異なるサンプルをとった場合は別の結果が導き出されるかもしれないということを肝に銘じなけれないんですね。

心も体も、そして記憶までもリフレッシュ!?

今回はお盆休みなどの影響で、勉強会自体の開催間隔が少し空いてしまいました。

心身ともにリフレッシュこそできたものの、けっこう覚えていた記憶を取り戻すのに手間取りました。
ただ、なんとなく理解できているので、まだ大丈夫そうです。

もう少し「検定」に関する講義が続きそうなので、次回もご案内することになるでしょう。
お楽しみに!

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